Dodawanie prędkości w transformacji Lorentza
Zajmiemy się przypadkiem, gdy obiekt ma już pewną prędkość \( U_{x} \)' w ruchomym układzie odniesienia (to jest względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość \( U_{x} \) zarejestruje nieruchomy obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkością \( V \) wzdłuż osi \( x \). Z transformacji Lorentza wynika, że
\( {\mathit{\Delta x}=\frac{\mathit{\Delta x}-\mathit{V\Delta t}}{\sqrt{1-\beta ^{{2}}}}} \)
oraz
\( {\mathit{\Delta t}=\frac{\mathit{\Delta t}-\frac{V}{c^{{2}}}\mathit{\Delta x}}{\sqrt{1-\beta ^{{2}}}}} \)
Dzieląc te równania przez siebie, otrzymujemy
\( {\frac{\mathit{\Delta x}}{\mathit{\Delta t}}=\frac{\mathit{\Delta x}-\mathit{V\Delta t}}{\mathit{\Delta t}-\frac{V}{c^{{2}}}\mathit{\Delta x}}=\frac{\frac{\mathit{\Delta x}}{\mathit{\Delta t}}-V}{1-\frac{V}{c^{{2}}}\frac{\mathit{\Delta x}}{\mathit{\Delta t}}}} \)
a po podstawieniu \( {U_{{x}}'=\frac{\mathit{\Delta x'}}{\mathit{\Delta t'}}} \) oraz \( {U_{{x}}=\frac{\mathit{\Delta x}}{\mathit{\Delta t}}} \)
\( {U_{{x}}'=\frac{U_{{x}}-V}{1-\frac{\text{VU}_{{x}}}{c^{{2}}}}} \)
Powyższe równanie można rozwiązać ze względu na \( U_{x} \)
\( {U_{{x}}=\frac{U_{{x}}'+V}{1+\frac{\text{VU}_{{x}}'}{c^{{2}}}}} \)